Трябват радикални реформи в образованието, преподавателят да е авторитет, а това е несъвместимо с подчинената му роля у нас
Д-р Лъчезар Томов има над 10 години работа в софтуерната индустрия, свързана с програмиране за вградени системи, математически методи за оптимизация и уеб програмиране. Интересите му са в областта на качество на софтуера, естетика на програмирането, вероятности и статистика, история и философия на науката. Участвал е в проекти на Лаборатория за анализи и управление на риска към НБУ, в проекти с европейско финансиране, свързани с подпомагане на пряката демокрация чрез информационни технологии. Работи в областта на медицинската статистика, свързана с инфекциозни заболявания заедно с екип от Медицински Университет-София и ИМИ-БАН. Автор на множество статии по история на математиката и книга заедно с ученици от четири училища. Носител на наградата на БАИТ за 2021-ва година (първо място) в категорията „Практическа насоченост на преподаването по информационни технологии“ и на златен медал и титлата SUPER STEM AMBASSADOR от конкурса “SUPER STEM България”. Притежава сертификат Vivarium за познания по латински език.
Искра ИВАНОВА
Г-н Томов знаем, че математиката е точна наука, но преди да навлезем в същността на понятието, нека започнем оттам: Какво е това математика, и откъде произхожда думата?
Математика е дума, създадена от Питагор, от μάθημα – знание, учение. Математиката е единственото сигурно знание, тъй като само в нея съществува логическото доказателство. Тя борави с абстрактни светове, както геометрията на Евклид, в която точките нямат размери, правите линии имат само дължина, а равнинните фигури нямат височина. Така геометричните обекти са нарисувани от линии, които нямат широчина, върху равнина, която няма дебелина. В такива абстрактни светове можем да започнем от определения какво е прав ъгъл и аксиоми, като например, че две успоредни прави не могат да се пресекат в нито една крайна точка, за да докажем твърдения като това, че сборът от ъглите на всеки триъгълник е 180 градуса. Има голяма смелост в това да говориш за всички триъгълници – в крайна сметка ние не можем да видим или нарисуваме всички, защото те са безкрайно много и с безкрайно много различни пропорции (тъпи и остри ъгли, равни или различни страни). И въпреки това ние твърдим нещо за всички тях с абсолютна сигурност.
Да приемем, че математиката не е само измерване и броене, изтъкана от формули и прости числа. Тогава, може ли да се каже, че тя е основа, на която се градят, както познание, така и дълбок анализ в съвременния свят?
Математиката далеч не е просто изчисление. Математиката е метод. Методичното и систематично решаване на проблемите на заобикалящия ни свят с един общ метод, чрез бягство в безброй въображаеми светове, много по-трудни за представяне от тези на поетите. Светове с безброй измерения и много видове безкрайности. Абстрактното мислене е ключът към развитието на познанието, чрез него първо се е развил човешкият език – от конкретните имена на дървета като бук и ела, до общото понятие за дърво. От конкретните хора до общото понятие за човек. От конкретния брой овце или пръчки, до идеята за броене.
С помощта на този метод за добиване на сигурно познание на първо място се е развило нашето абстрактно мислене, усъвършенствала се нашата логика, а след това са се развили приложни изкуства като механика, архитектура, физика, инженерните науки, всичко, което е донесло повечето изобретения на съвременния свят (с изключение на тези от биологията).
Малко хора знаят, че музиката и математиката имат много общо. Например, какво обединява клавишите на пианото с числата на Леонардо Фибоначи (италиански математик ок. XIII век) и струните на лирата с Питагор ?
Музиката е пряко свързана с теория на числата. Питагор е бил този, който открил, че при струните на лирата при еднаква дебелина и напрежение, ако съотношенията на дължините им са цели числа, те звучат хармонично (консонанс). При съотношение 1:1 имаме унисон, при 2:1 имаме октава, а при 3:2 – перфектна пета, или квинта. Октавата е интервал, при който по-високият тон е с двойна честота на по-ниския и идва от двойно по-малката дължина на втората струна. Числата на Фибоначи са една от най-известните рекурентни редици – дадено число е сбор от предишното и по-предишното число. Така, ако тръгнем от 1,1, получаваме 1,1,2,3,5,8,13,22… Да цитирам своя ученик Явор Намлиев: „Клавишите на пианото следват числата на Фибоначи. В състава на октавовия интервал има 13 клавиша, 8 бели и 5 черни. 13-тият клавиш едновременно завършва една и започва нова октава, като създава непрекъсната секвенция от числата на Фибоначи.“
Математическото понятие “Златно сечение” е въведено от Леонардо да Винчи, като пропорция за “идеалното човешко тяло”. Понятието намира приложение, както в архитектурата, така и в рисуването. Любопитно е, обаче как Златното сечение, бива разглеждано в природата, като естествено явление. Къде можем да го видим ?
Златното сечение е всъщност понятие, въведено още в „Елементи“ на Евклид. То не се проявява физически в природата, тъй като е ирационално число, нещо непознаваемо, от света на идеите. Нарича се „ирационално“, което означава, че не може да се представи като отношение на две цели числа, както например ½ или 2/3. Опитът да го превърнем в дроб води до безкрайна верижна дроб – това число не е познаваемо според гръцките математици, тъй като не можем да го изчислим точно.
Златното сечение се появява като граница на съотношенията на поредните членове на редицата на Фибоначи – 2/1, 3/2,5/3, 8/5, 13/8, 22/13… и е приблизително 1.1618. Граница тук означава, че когато продължаваме тази редица към безкрайността, тези съотношения се приближават безкрайно близко до него, но никога не го достигат. То е точно отвън и ги ограничава, но не е част от тях, нещо, като България и Еврозоната. Поради тази причина не можем да го видим в природата, но самата редица на Фибоначи се проявява в ботаниката, например при слънчогледа – броят на спиралите, въртящи се в едната и в другата посока са две последователни числа на Фибоначи. Самата редица е създадена от Леонардо Фибоначи, който се опитвал да моделира размножаването на зайците в опростен сценарий, в който те не умират и новороденият заек е готов да се размножава след месец.
Зайците не умират и всяка двойка създава нова двойка от женска и мъжки зайци. Така в края на първия месеци има една двойка зайци. В края на втория месец има две двойки –една стара и една нова. В края на третия месец оригиналната двойка е създала една нова и стават три двойки. В края на четвъртия, първата и втората са създали по една нова двойка – общо пет двойки. Така имаме 1,1,2,3,5… В края на всеки месец броят на зайците е сборът от броя на оцелелите в предишния месец и новите двойки, създадени от тези от по-предишния (тъй като им трябва един месец, за да съзреят полово).
Според вас, може ли математиката да бъде преподавана по по-абстрактен начин на учениците и да имат свобода те да избират “сценария” в един учебен час, или има строго определени правила?
Математиката сама по себе си е абстрактна, затова трябва да се преподава конкретно в началото, за да се разбере смисъла на това, което се учи. Както великия математик и педагог Израел Гелфанд казва: ако попиташ един пияница кое е повече, 2/3 или 3/5, той няма да може да ти отговори. Ако обаче го попиташ дали би разделил два литра водка на трима души, или три литра на петима, той ще избере първото. Абстрактното мислене е важно, но то се развива дълго време – фронталният кортекс, който е отговорен за него, съзрява до 25-тата година на човека. Поради това не бива да се прекалява, като се пишат учебници за ученици от прогимназията, сякаш са за първи курс в университета. Ученето трябва да е максимално близко до игра, защото на латински училище се казва “ludus”, което означава още спорт, игра. Аз създадох свое собственото мото на латински език; „In ludo ludimus“ – играем в училище. Уча и бъдещи програмисти как да се упражняват, като превръщат работата в игра. Това е според мен ключът към мотивацията – да се експериментира и да се изследва, като се приема като игра, а не за нещо натоварващо.
Имате значителен принос в книгата “История на Математиката”, издадена под ваше ръководство. В научния труд са участвали и ваши ученици от НГДЕК “Свети Константин Кирил Философ”- София. Освен това, гимназията е отличена с награда “STEM литература” в националния конкурс “SUPER STEM”, а вашата награда е SUPER STEM AMBASSADOR. Разкажете как дойде идеята за книгата и каква е целта на конкурса “Търси се Супер STEM”?
Всичко това беше изцяло моя инициатива. Винаги съм обичал история на математиката, а преподаването ми в гимназията върна интереса ми и към философията, включително и като поле за научни изследвания. Аз самият като ученик проявявах интерес към всичко и бях силен в хуманитарните науки, особено литературата (според моите учители). Възнамерявах това да уча и като висше образование. Моят интерес към математика и физика бе стимулиран от някои книги като „Физиците продължават да се шегуват“ и това промени намеренията ми. Реших, че така ще мога да изпратя на друг път някои ученици, тъй като имаме нужда от класически образовани математици и физици, каквито са били Поанкаре, Айнщайн, Феликс Клайн, Алфред Рени и много други. Те са и автори на най-добре написаните книги и учебници от онова време. За образованието в училище и университета е важно да имаме класически подготвени математици и физици. Самата книга има някои приноси, както и немалко статии, излезли след нея с ученици от гимназията – някои в списание по философия, една в „математика и информатика“. Някои от учениците ми сега следват природни науки, така, че имаше известен успех този мой опит. Относно конкурса, неговите цели са фокус върху STEM науките – технически и природни науки. Аз исках да покажа как Класическата гимназия може да има ключова роля за развитието на STEM, с което да подсигуря дългосрочно нейното съществуване и да дам пълноценно, завършено образование на нейните възпитаници – защото само с хуманитарни, или само с природни науки, не можем да се наречем добре образовани и сме по-малко ефективни дори в собствената си област.
Участвали сте в конкурса “Дигитални новатори в образованието” с организатор БАИТ, под патронажа на МОН през 2022 год. Отличен сте на първо място в категорията “Практическа насоченост на преподаването по информационни технологии” учител по математика в НГДЕК “Св. Константин Кирил Философ” – София и учител по физика в ЧОУ “Томас Едисън”. Според вас, защо е важно учителите да бъдат иноватори в образователната система?
Защото преподаването е неформален процес, който не подлежи на формализация, рецепти и стриктни програми. Учителите са тези, които преподават и те трябва да създават и развиват новите методи и форми, след като бъдат добре подготвени за това. Те имат истински сблъсък с реалността, каквато експертите не притежават. Трябва да инвестираме много повече в учителите, да ги подготвим добре и да им се доверим, вместо да ги държим роби на една система. Гръцката дума „педагог“ наистина има значението на роб, но учителят трябва да е авторитет, за да му вярват учениците, а това е несъвместимо с подчинената му роля в образованието, която има у нас. Нищо не зависи от него или нея. Никой не го слуша, нито за учебници, нито за програми. Не се и инвестира в неговото обучение, така, че да бъде на високо ниво. В крайна сметка нашето общество трябва да реши дали образованието ни е приоритет и дали искаме да постигнем поне средноевропейско равнище на благосъстояние, или ще си останем най-бедната държава в ЕС. И трябва да се намерят смели политически лидери, които да проведат радикални реформи. Защото аз не съм доволен от нашето основно и средно образование. За съжаление твърде много досегашни министри са доволни. Доволният човек не реформира.
Познанията ви в областта на античната литература от епохата на Ренесанса, както и древният латински не са ви непознати, затова бих искала, в края на нашето интервю да завършите с мисъл на Блез Паскал, който цитирате често. Нека мисълта бъде отправена за читателите на вестник Вяра.
“Не в пространството трябва да търся достойнството си, а в добре организираната си мисъл. Колкото и земи да владея, няма да стана по-богат; чрез пространството природата ме обхваща и поглъща като точка, докато чрез мисълта си аз обхващам Вселената” – Блез Паскал.
